あなたの偏差値は？　学業・体格・ゴルフ・マラソンなどなど

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偏差値ってご存知でしょうか？
恐らく高校や大学受験で何度も聞いておなじみの単語だと思います。

では、偏差値ってどうやって計算しているかご存じでしょうか？
となると、知らない人の方が多いかもしれません。

標準偏差と正規分布

統計の世界では標準偏差（σ）という単語があります。

標準偏差（ひょうじゅんへんさ、英: standard deviation, SD）は、日本工業規格では、分散の正の平方根と定義している。データや確率変数の散らばり具合（ばらつき）を表す数値の一つ。物理学、経済学、社会学などでも使う。例えば、ある試験でクラス全員が同じ点数、すなわち全員が平均値の場合、データにはばらつきがないので、標準偏差は 0 になる。
引用:Wikipedia

式で表すとこうなります。

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数字アレルギーの方は頭痛くなるような式ですが、バラつきの大きさを意味していて、難解な式でもありません。意味を理解したい方はこちらのHPが分かりやすかったのでリンク貼っておきます。

標準偏差とは何か？その求め方や公式の意味・使い方をわかりやすく説明します | アタリマエ！

もうひとつ、偏差値を語る上で避けて通れないのが正規分布という考え方です。
正規分布とはこのような形状をした確率分布です。

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引用:Wikipedia

この例では平均値が0、標準偏差がσとした場合の正規分布になっています。
平均値、この場合は横軸0となっているあたりは比率が高く、平均値から離れるほど比率が低くなっているのがわかります。

前述のσは平均値からの距離とも言え、正規分布を前提にすると±1σの中に68%が存在する計算になります。

例として身長を挙げます。青の棒グラフが実績、オレンジ線が平均と標準偏差から計算した正規分布のグラフです。実績が非常に正規分布に近い形になっているのが分かります。
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難しいことは抜きにしても、通常こんな分布になりそうだな、というのは何となくイメージがつくと思います。自然界の現象は分布を書くと正規分布になるものが多いのです。

偏差値とは

さて、肝心の偏差値ですが、ここまでの話が理解できれば分かったも同然です。実は偏差値30、40、50、60、70はそれぞれ-2σ、-1σ、±0σ（平均値）、＋1σ、＋2σを意味しているのです。

人間には意志があるので、学校の成績も含め、実は厳密には正規分布にならないのですが、正規分布を前提とした「偏差値」は普遍的な考え方として一般的に使用されているのですね。

その正規分布を前提に考えると、偏差値60以上の存在確率は16%、同様に偏差値70以上は2%、偏差値80以上は0.1%となります。

偏差値70というと超優秀、偏差値80というともはや聞いた事のないレベルですが、存在確率を考えると納得できるはず。

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現在、18歳の人口は118万人だそうです。これに対して東大の合格者数は約3100人で
全体の0.26%。0.26%は+2.8σで、この確率を偏差値に換算すると78になります。

東大合格するためには偏差値75がボーダーラインということなので、整合が取れる数字ですね。

学業以外の偏差値

偏差値は正規分布を前提にした実データからの計算値、ですので、学業以外でも定義することができます。

いろいろなHPからデータをお借りして、身長・体重・寿命・年収・TOEIC・ゴルフ・100m走・マラソン・将棋・ボウリング・握力の偏差値一覧を作成しました。

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偏差値60ってどれくらい凄い？

学業で偏差値60以上、と聞くとなかなかできる奴、という印象で、実際筑波大や横浜国立大に入れるくらい優秀です。全体の上位16%がこの領域になります。

これを学業以外で見てみると、身長178cm/体重80kg(男)・寿命91歳・年収750万円と、やはり平均の一歩上を行っていて、一般的に「凄い」と言われるくらいになってきます。体重はあまり嬉しくないですが(笑)

他にはTOEICの700点、ゴルフのシングル、マラソンのサブフォーあたりがこのランクになります。得意なものは何ですか？と聞かれて答えられるレベルですね。上級者、と呼んでも良いと思います。

偏差値70ってどれくらい凄い？

偏差値70になると全体の2%なので、ぐっとレベルが上がります。
学業で言えば、各大学の医学部や一橋大などの一流大学に入ることができます。
50人に1人しか到達できないレベルですから、羨ましがられますね！！

学業以外で見てみると、身長184cm/体重90kg(男)・寿命98歳・年収1600万円と、これもまたあまり見かけないレベルになってきます。

それ以外でも、TOEICの900点、ゴルフの片手シングル、マラソンのサブスリー・・・ここまで来ると本気で取り組んでも到達できるのは一握りになってきますね。
人知れず努力を積んでいるんだろうな、と尊敬の念を抱きます。

偏差値80ってどれくらい凄い？

偏差値80だと0.1%、1000人に1人なので、もはや神。大学だと最難関の東大医学部レベルです。

学業以外で見てみると、身長190cm/体重100kg(男)・寿命104歳・年収4000万円と、これもまたなかなか出会うことがないレベル。

それ以外でも、TOEICの990点(満点)・ゴルフのアンダーパー・マラソン2時間20分・100m走10秒7・・・いわゆるプロと呼ばれる方々です。

嫉妬とかそういうところを超越して、ここまでくると畏怖の念を抱きますね。

もしこれを見ている方で一つでも該当しているとすれば、あなたは凄い！！！！

ハルさんの結論

標準偏差(σ)：データや確率変数の散らばり具合（ばらつき）を表す数値の一つ

正規分布：自然界に多く現れる、平均値付近に集積するデータの分布を表した確率分布

偏差値：平均を50、σを10と換算した場合の値　偏差値60以上は16%、70以上は2%しか存在しない

勉強にしてもスポーツにしても、偏差値70・80というと到達するのは極めて困難ですが、せっかく取り組むのであれば偏差値60を超えられるよう頑張りたいなと思うハルなのでした。

それでは皆さん、よい投資を！

統計屋ハルさんのロジカル投資日記

統計解析で必勝ロジック構築　～怠惰を求めて勤勉に行き着いたお話～